Электронная модель индукционного датчика измерителя рассогласования следящей системы

№ 8’2013
PDF версия
Измеритель рассогласования является одним из важнейших функциональных элементов следящей системы. В аналоговых следящих системах используют измерители рассогласования на индукционных элементах — сельсинах, или вращающихся трансформаторах. Для испытания аналоговых следящих систем традиционно использовали специальное устройство, называемое синусным механизмом. Это дорогое и громоздкое электромеханическое устройство, обеспечивающее подачу на вход следящей системы типовых тестовых воздействий, поволяющих оценить качество работы системы в переходных и установившихся режимах.
Более современным устройством для испытания следящих систем может быть электронная модель электромеханического синусного механизма, например электронная модель сельсина-датчика.

Введение

Следящие системы представляют собой один из самых распространенных типов систем автоматического управления. Их обычно используют для дистанционного управления углом поворота объекта управления.

Измеритель рассогласования является одним из важнейших функциональных элементов следящей системы. В аналоговых следящих системах используют измерители рассогласования на индукционных элементах — сельсинах, или вращающихся трансформаторах.

Принцип действия индукционного датчика основан на законе электромагнитной индукции [1]. Электрическая схема сельсина изображена на рис. 1.

Электрическая схема сельсина

Рис. 1. Электрическая схема сельсина

Действующие значения ЭДС, наводимых в обмотке синхронизации (ОС) переменным потоком, созданным током, протекающим в обмотке возбуждения (ОВ), определяются выражениями:

E1 = Eнбcosα;

E2 = Eнбcos(α–2π/3);

E3 = Eнбcos(α–4π/3)=E3 = Eнбcos(α+2π/3),             (1)

где Eнб — наибольшая величина ЭДС, соответствующая совпадению осей фазной обмотки и обмотки возбуждения; α — угол поворота ротора сельсина.

Мгновенные значения наводимых ЭДС можно записать в виде:

е1 = Е12sinωt;

e2 = E22sinωt;

e3 = E32sinωt.                        (2)

Фаза ЭДС может иметь два значения: 0°, если ось обмотки составляет с осью обмотки возбуждения ОВ угол, меньший 90°, или 180° в противном случае.

Измеритель рассогласования состоит, как известно, из двух сельсинов (или из двух вращающихся трансформаторов), соединенных между собой электрически и работающих в трансформаторном режиме. Ротор одного из индукционных приборов, называемого датчиком, например сельсина-датчика (СД), поворачивается на угол θд, равный заданному углу поворота объекта управления θвх. Угол поворота ротора θп второго из индукционных приборов, называемого приемником, например сельсина-приемника (СП), равен действительному углу поворота объекта управления θвых. На обмотку возбуждения прибора-датчика подается напряжение переменного тока постоянной величины Uо.

С обмотки возбуждения прибора-приемника снимают напряжение переменного тока, называемое напряжением рассогласования Up. Его величина зависит от модуля синуса разности углов поворота роторов датчика θд и приемника θп, называемого рассогласованием θ = θдθп. Фаза напряжения рассогласования Up относительно напряжения питания датчика U0 — 0° или 180° — зависит от знака рассогласования θ. Таким образом, фазу напряжения рассогласования Up можно учесть в знаке его величины, описав ее выражением Up = Umsinθ.

Для испытания аналоговых следящих систем традиционно использовали специальное устройство, называемое синусным механизмом. Это дорогое и громоздкое электромеханическое устройство, обеспечивающее подачу на вход следящей системы типовых тестовых воздействий: скачка, линейно-возрастающего и гармонического воздействия. Они обеспечивают оценку качества работы системы в переходных и установившихся режимах.

Линейно-возрастающее воздействие соответствует вращению ротора датчика с постоянной скоростью, а гармоническое — колебанию ротора около нулевого положения с постоянной амплитудой и частотой.

Более современным устройством для испытания следящих систем может быть электронная модель электромеханического синусного механизма, например электронная модель сельсина-датчика.

Электронная модель сельсина-датчика согласно формулам (1) и (2) должна генерировать систему трех напряжений переменного тока:

U1 = Umcosθд×сosωt;

U2 = Umcos(θд–2π/3)×сosωt;

U3 = Umcos(θд–4π/3)×сosωt,        (3)

где θд(t) — выбранный закон изменения задающего воздействия следящей системы, Um = 2Eнб/2 при равенстве сопротивлений фазных обмоток сельсина-датчика и сельсина-приемника.

До начала разработки электронной модели сельсина-датчика необходимо было исследовать влияние замены датчика его электромеханической моделью, вырабатывающей систему трех напряжений переменного тока, модулированных по амплитуде (3), на основные свойства измерителя рассогласования.

Электромеханическая модель сельсина-датчика СД обведена на рис. 2 пунктиром.

Электрическая схема измерителя рассогласования с электромеханической моделью сельсина-датчика

Рис. 2. Электрическая схема измерителя рассогласования с электромеханической моделью сельсина-датчика

Трансформаторы ТP1, ТP2, ТP3 служат для согласования напряжения питания сельсина с сетью 220 В, 50 Гц и для гальванической развязки.

Лабораторные автотрансформаторы ЛАТР 1–3 позволяют плавно регулировать напряжения U1, U2, U3, подаваемые на обмотку синхронизации ОС сельсина-приемника (СП). Переключатели П1, П2, П3 необходимы для изменения фазы напряжений U1U2, U3 на 180°.

Исследовали сельсин типа БС405 НА. Были сняты статические характеристики Up = f(θ) измерителя рассогласования на сельсинах БС405 НА и измерителя с электромеханической моделью сельсина-датчика, представленные на рис. 3 кривыми 1 и 2 соответственно.

 Статические характеристики измерителей рассогласования

Рис. 3. Статические характеристики измерителей рассогласования

Для сравнения точности измерителей рассогласования получены их кривые ошибок δир = f(θд), отмеченные соответственно цифрами 1 и 2 на рис. 4. Сравнение статических характеристик показывает их практическое совпадение. При сравнении кривых ошибок становится ясно, что измеритель рассогласования электромеханической моделью сельсина-датчика имеет точность не хуже, чем при использовании реального сельсина-датчика.

Кривые ошибок измерителей рассогласования

Рис. 4. Кривые ошибок измерителей рассогласования

 

Реализация электронной модели сельсина-датчика

Вычисления, необходимые для получения выходных напряжений электронной модели СД, удобнее реализовать в цифровом вычислительном устройстве (ЦВУ), например в микропроцессоре. Реальные напряжения U1, U2, U3 можно получить с помощью преобразователя код-напряжение (ПКН), а для согласования с нагрузкой можно использовать достаточно мощные операционные усилители.

Дискретные значения функции cosωt: cos(n2π/N), где n = 0, 1, 2, 3, ѕ, N — число точек на периоде функции T = 2π/ω, можно получать, решая в ЦВУ последовательным вычислением разностное уравнение 2‑го порядка:

xn+2–2cos(2π/N)xn+1+xn = 0         (4)

при начальных условиях:

x0 = 1, x1 = cos(2π/N).             (5)

Действительно, выполнив Z‑пре-образование в разностном уравнении
с учетом Z{xn} = X(z), Z{xn+1} = zX(z)–x0z, Z{xn+2} = z2X(z)–x0z2x1z, получаем:

z2X(z)–z2zcos(2π/N)–2cos(2π/N)[zX(z)–z]+X(z) = 0,

где X(z) = Z{xn} — Z‑преобразования решетчатой функции xn.

Выразив из последнего уравнения X(z), получаем:

Выполнив с помощью известных таблиц обратное Z‑преобразование в выражении (6), получаем аналитическое решение разностного уравнения (4): xn= cos(n2π/N).

Решение разностного уравнения последовательным вычислением осуществляется с помощью следующего из него рекуррентного выражения:

xn+2 = 2cos(2π/N)xn+1xn.           (7)

 Подставляя начальные значения x0 = 1, x1 = cos(2π/N), находим: x2 = 2cos(2π/N)x1
x0 = 2cos(2π/N)cos(2π/N)–1 = 2cos2(2π/N)–
–1 = cos(4
π/N).

Продолжая вычисления, ЦВУ будет получать последовательные значения cos(n2π/N), n = 3, 4, 5, …

Значение задающего воздействия θд(t): θд(nT/N) в случае изменения его по линейному закону θд(t) = Ωt, где Ω — скорость вращения ротора СД, легко вычисляется по формуле: θ′ = ΩnT/N. При больших значениях
θд(t) (|θд(t)| > 2π) следует отбрасывать целое число оборотов, то есть:

θд(t) = θ′д(t)–2π[θ′д/2π],               (8)

где [θ′д/2π] — целая часть числа θ′д/2π.

При гармоническом законе изменения заданного угла поворота:

θд(t) = θmsinΩt                      (9)

дискретные значения θд(nT/N) можно вычислить аналогично значениям cos(n2π/N) по рекуррентному выражению. Для этого необходимо определить значение отношения ω/Ω и округлить его до ближайшего целого числа М. Поскольку отношение ω/Ω = f/F, где f — частота питания сельсина (Гц), а F — частота гармонического воздействия (Гц), имеет порядок 102–103, то относительная ошибка округления незначительна.

Значения решетчатой функции:

yn = sin(Ωn/TN) = sin(ωnT/MN) = = sin(n2π/MN)

при начальных значениях y0 = 0, y1 = = sin(2π/МN) можно получить по рекуррентному выражению, аналогичному выражению (7):

yn+2 = 2cos(2π/MN)yn+1yn.         (10)

Последовательным вычислением получаем для n = 2, 3, …:

y2 = 2cos(2π/MN)y1y0 = = 2cos(2π/MN)×sin(2π/MN)–0 = sin(4π/MN),

y3 = 2cos(2π/MN)y2y1 = = 2cos(2π/MN)×sin(4π/MN)–sin(2π/MN) = = sin(6π/MN)+sin(2π/MN)–sin(2π/MN) = = sin(6π/MN),

Вычисление значений cosθдn и sinθдn при условии θдn = θдn(nT/N) по рекуррентному выражению невозможно, поскольку расстояние между соседними значениями θдn не одинаково. При отсутствии в ЦВУ стандартной программы можно выполнять вычисления cosθдn и sinθдn, используя известные разложения гармонических функций в степенные ряды:

Учитывая, что скорость сходимости ряда тем выше, чем меньше абсолютное значение аргумента x, можно пользоваться формулами приведения, определив угол α до ближайшего, кратного π/2, значения угла: θдn = x = kπ/2–α, k = 0, 1, 2, 3, …, 0 < |α| < π/4, где k — ближай-шее к числу x/(π/2) целое число, α = kπ/2–x.

Тогда:

При заданной точности вычисления sinx и cosx можно определить необходимое число членов степенного ряда, обеспечивающее ее при |α| = π/4, и сохранить это число членов ряда при |α| < π/4.

Поскольку функции sinx и cosx раскладываются в знакопеременные степенные ряды, величина ошибки их вычисления не превосходит модуля старшего из отброшенных членов ряда. Поэтому, задав допустимую ошибку вычисления δ, для определения необходимого числа членов разложения в ряд функций sinx и cosx нужно решить соответственно неравенства:

При δ < 10–4 в первом случае получаем 2n+1  7, а во втором случае — 2n  7. Таким образом, для вычисления значений функций sinx и cosxс четырьмя верными десятичными знаками можно использовать усеченные ряды:

Вычисляя sin(π/4) и cos(π/4), получаем в первом случае отрицательную ошибку –3,6×10–5, а во втором — такую же, но положительную ошибку +3,6×10–5.

Значения cos(θдn–2π/3) и cos(θдn+2π/3) проще вычислять по формулам:

Все вычисления, необходимые для получения напряжений u1, u2, u3, следует выполнять с периодом T0 = 2π/ωN = T/N. Вычисленные значения cos(θдn(nT0))cos(ωnT0), cos(θдn(nT0)–2π/3)cos(ωnT0), cos(θдn(nT0)+2π/3)cos(ωnT0) c помощью трех преобразователей код-напряжение (ПКН) преобразуются соответственно в напряжения u1, u2, u3.

Число разрядов ПКН должно удовлетворять заданной точности воспроизведения напряжений. Если допустимая ошибка, вызванная квантованием по уровню, составляет Δ%, то необходимое число разрядов ν определяется из уравнения:

100%/(2ν–1) ≤ ∆%.               (13)

Если Δ = 0,1%, то 2ν = 103+1, ν = log2(103+1) =  10 (210 = 1024).

Таким образом, используя современные микропроцессоры (микроконтроллеры), имеющие в своем составе десятиразрядные ПКН, можно обеспечить высокую точность преобразования.

В результате на выходе ПКН получаются ступенчатые косинусоидальные напряжения, модулированные по амплитуде множителями cos(θдn(nT0)), cos(θдn(nT0)–2π/3) и cos(θдn(nT0)+2π/3). На рис. 5 представлено одно из напряжений, соответствующее θдn(nT0) = const и N = 16.

 Выходное напряжение ПКН

Рис. 5. Выходное напряжение ПКН

В действительности число N может иметь в сотни раз большее значение. При N = 103 и частоте питания сельсина f = 50 Гц получим T0 = 1/50/103 = 20 мкс. При современном быстродействии микропроцессора это вполне реальное время для выполнения вычислений. При числе точек квантования на периоде косинусоиды N = 103 максимальная относительная высота ступеньки, соответствующая прохождению косинусоиды через 0, то есть максимальной крутизне кривой, равной 1, составляет 2π/103 = 0,0063, или 0,63% от максимума косинусоиды, равного 1.

Ступенчатая косинусоида может быть сглажена в устройстве, согласующем ПКН с сельсином-приемником, которое представляет собой операционный усилитель (ОУ), изображенный на рис. 6.

Сглаживающий операционный усилитель

Рис. 6. Сглаживающий операционный усилитель

Передаточная функция операционного усилителя:

Величину коэффициента KОУ выбирают равной отношению амплитуды напряжений обмотки синхронизации ОС сельсина-приемника Um и амплитуды напряжения на выходе ПКН Uпкнm (рис. 5).

Отклонение ступенчатой косинусоиды от гладкой косинусоиды, проходящей через середины ступенек, в худшем случае имеет вид пилообразной кривой ζ, показанной на рис. 7, с амплитудой ζm = (2π/N)/2 = π/N, то есть ζm = 3,14×10–3 при N = 103.

Операционный усилитель, представляющий собой апериодическое звено, сглаживает отклонение ступенчатой косинусоиды от идеальной синусоиды. Пилообразные отклонения ζ превращаются в гладкие, обозначенные на рис. 7 буквой ξ.

При TОУ >> T0 ОУ для отклонений ζ и ξ можно рассматривать как идеальное интегрирующее звено с дифференциальным уравнением:

TОУ(dx/dt) = z.                   (15)

Интегрируя уравнение ОУ на положительном полупериоде ξ, соответствующем изменению ζ от –ξm до +ξm, получаем:

или

Отсюда следует, что:

xm/zm = T0/8TОУ.                 (16)

Таким образом, уже при ТОУ/Т0 = 5 амплитуда отклонений выходной косинусоиды от идеальной уменьшается в 40 раз и при N = 103 не превосходит:

или 0,0079%.

Постоянная времени ТОУ = 5Т0 = 5×20×10–6 = 10–4 с = 0,1 мс оказывается весьма небольшой: она в 200 раз меньше периода косинусоиды, равного Т = 20 мс. Следовательно, можно уменьшить N, что снизит требования к быстродействию микропроцессора.

Очевидно, что аналогично можно построить и электронную модель вращающегося трансформатора-датчика.

 

Возможности использования электронной модели индукционного датчика

Помимо модели датчика как синусного механизма, можно использовать его при модернизации аналоговых следящих систем. Например, при замене аналогового вычислительного устройства (ВУ), определяющего необходимые углы поворота объекта управления на ЦВУ, можно сохранить непрерывную следящую систему. Для этого достаточно заменить ее сельсин-датчик его электронной моделью.

Использование электронной модели СД позволяет повысить точность измерителя рассогласования. Для этого можно определить погрешности измерителя рассогласования и добавлять к заданному значению θд соответствующую ошибку с обратным знаком. Зависимость ошибки от угла можно аппроксимировать функцией и вычислять в ЦВУ ее значение для каждого угла θд(nT0).

 

Выводы

Электронную модель СД можно использовать как «синусный механизм» при испытаниях следящих систем.

Применение электронной модели СД позволяет повысить точность измерителя рассогласования.

Также электронная модель СД дает возможность согласовать цифровой источник задающего воздействия с аналоговой следящей системой, то есть СД может играть роль цифро-аналогового преобразователя.

Литература
  1. Евграфов В. Г., Коршунов А. И. Радиоавтоматика. Электромеханические элементы систем радиоавтоматики. Петродворец: ВВМИРЭ
    им. А.С. Попова, 2007.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *