Калибровочные (управляющие) поля

Одновременно мы несколько расширим терминологию. Наряду с уже
используемыми терминами будем
говорить вообще об «объекте», в котором
желательно сохранение избранного «свойства», «качества», «признака». В частности,
объектом может быть дифференциальное
уравнение, а признаком, который мы желаем сохранить, — структура этого уравнения.
Далее, вместе с оборотом «преобразование
величин, входящих в объект» будем в аналогичном значении употреблять еще и оборот
«поступающее в объект возмущение».

Рассмотрим теперь объект (систему) произвольной природы. Пусть в этот объект поступает возмущение, в результате которого
объект утрачивает какое-то важное свойство.
В этом случае мы можем попытаться указать
такой подходящий прием, который скомпенсировал бы утрату, то есть восстановил в рассматриваемом объекте потерянное из-за поступающего возмущения, но ценное для нас
свойство (качество, признак).

Тем самым поступающее в объект возмущение стало бы симметрией данного свойства.

Дадим определение. Калибровочное (компенсирующее) поле — это поле, обеспечивающее сохранение в объекте интересующего
нас свойства (признака, качества), несмотря
на поступающее в этот объект возмущение
(принадлежащее определенному математическому классу).

Рассмотрим для примера двумерное уравнение Лапласа:

Предположим, что поступающее возмущение локально, то есть в каждой точке (x, y)
изменяет эти переменные так, что в итоге
формируются новые переменные (ξ, η), связанные со старыми формулами:

Что произойдет при этом со структурой
самого уравнения (1)?

Воспользуемся для преобразования (2) известными формулами:

Складывая (3) и (4) и принимая во внимание (1), приходим к уравнению:

Мы видим, что вследствие поступающего
возмущения или, другими словами, в новых
переменных структура уравнения Лапласа (8)
претерпела значительное изменение.

Какое требование компенсирующего характера нам следует теперь выдвинуть, чтобы, несмотря на поступающее возмущение,
структура преобразованного уравнения,
то есть уравнения в новых переменных ξ и η,
стала неотличимой от структуры (1) уравнения Лапласа, записанного в старых переменных x и y?

Очевидно, что для восстановления или
сохранения структуры уравнения Лапласа
достаточно, как видно из (5), потребовать
одновременного выполнения следующих равенств:

С другой стороны, и это примечательно,
для выполнения сразу всех равенств (6–9) достаточно, чтобы (всего-то!) функция:

как функция комплексной переменной
z = x+iy была аналитической.

Действительно, аналитичность функции
(10) эквивалентна, как известно [1], выполнению так называемых условий Коши-Римана:

Но нетрудно (прямой подстановкой) проверить, что из условий (11), в свою очередь, вытекает справедливость сразу всех равенств (6–9).

В этом случае из (5), очевидно, последует:

То есть в условиях аналитичности функции
(10) структура преобразованного уравнения
в переменных ξ и η становится в точности такой же, что и исходного уравнения (1) в переменных x и y. То есть перед нами вновь уравнение Лапласа.

Посмотрим, какими окажутся функции (2)
при выполнении условий Коши-Римана (11).

Мы видим, что из (11) следуют равенства
(8) и (9) или, в другой записи:

то есть ξ и η сами удовлетворяют уравнению
Лапласа.

Известно, что всякая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется
гармонической.

В [1] показывается, что для того, чтобы
функция (10) была аналитической, можно
взять, например, ξ как произвольную гармоническую функцию (то есть соответствующую уравнению Δξ = 0), а h затем установить
по формуле:

(Подынтегральная функция в (14) есть полный дифференциал [1].)

Так определенная гармоническая функция η оказывается сопряженной с гармонической
функцией ξ.

Таким образом, чтобы структура уравнения Лапласа (1) при поступлении возмущения, приводящего к трансформациям независимых переменных (2), не изменялась,
достаточно потребовать, чтобы функции (2)
(запишем их еще раз):

являлись взаимно сопряженными гармоническими функциями.

Будем теперь, для примера, только одну
функцию (15) отождествлять с поступающим возмущением и при этом будем считать, что она принадлежит классу гармонических функций. А вторую функцию (16)
будем полагать находящейся целиком в нашем распоряжении. Тогда для сохранения
вопреки поступающему возмущению (15)
структуры уравнения Лапласа нам достаточно, пользуясь свободой назначения функции
(16), выбрать в качестве компенсирующего
средства функцию (16) в классе гармонических и сопряженных с (15) функций.

Такая функция (16) и играет в данном случае роль калибровочного (компенсирующего) поля. При наличии такого компенсирующего поля (16) гармоническое возмущение
(15) становится симметрией структуры уравнения Лапласа.

Для следующего примера рассмотрим
начально-краевую задачу для параболического уравнения (17–20):

Решение (выходной сигнал) такой системы имеет вид [2, 3] (21), где G(x, ξ, y, η, t) —
функция Грина (импульсная переходная
функция) системы (17–19).

Пусть, например, возмущение поступает по каналу связи от начального состояния
к выходу системы, другими словами, возмущению подвергается задание Q(x, y, 0), и вместо условия (20) мы вынуждены принимать
во внимание новое условие:

Поступающее возмущение приведет к изменению выхода системы, иначе говоря, решение задачи (17–19), (22) представит собой
композицию с функцией Грина не сигнала:

как это имело место в (21), а сигнала [2, 4]:

Пусть наша цель, однако, как раз и состоит в точном сохранении решения или, ина-
че, выходного сигнала (21) системы (17–19),
несмотря на поступившее в эту систему возмущение.

Но (24) подсказывает, что парировать результат возмущения, возникшего в правой
части (22), можно, воспользовавшись другим
каналом связи — каналом от правой части
уравнения (17) к выходу системы. Именно
в правую часть уравнения (17) следует внести компенсирующее воздействие u(x, y, t)
и определить его из условия сохранения такого выходного сигнала Q(x, y, t), каким он
являлся до поступления возмущения. При
внесении воздействия u(x, y, t) выражение
(14) заменится на:

Отсюда ясно, что для того, чтобы выходной сигнал совпал с (23), несмотря на поступившее возмущение, достаточно принять
условие компенсации:

Эта функция u(x, y, t) и выполняет в рассматриваемом примере роль калибровочного (компенсирующего) поля, восстанавливающего свойство системы иметь своим
решением выражение (21). При наличии (26)
выход системы оказывается инвариантным
к поступающему возмущению, или, подругому, возмущение становится симметрией выходного сигнала (21).

Приведенные примеры можно было бы
продолжить многими другими, но и этого
достаточно, чтобы сформулировать несколько замечаний общего характера.

В традиционной науке об управлении,
идет ли речь об автоматическом регулировании и управлении или об управлении терминальном (программном), все равно мы
управляем состоянием объекта (сосредоточенного или распределенного). Так, например, в системах автоматической стабилизации имеющаяся обратная связь компенсирует
влияние нежелательных возмущений, поддерживая тем самым (восстанавливая) необходимое нам постоянство выходного сигнала
или, иначе, состояния.

В данной же статье мы рассмотрели
примеры, в которых поступающее возмущение изменяет уже не состояние объекта, а саму его структуру. Калибровочное
(компенсирующее) поле, как мы видели,
парирует это возмущение, поддерживая
(восстанавливая) постоянство структуры
(свойства, признака). Мы вправе, следовательно, воспринимать такое, специально
создаваемое нами поле как стабилизирующую (регулирующую) обратную связь,
компенсирующую возмущение структуры
и сохраняющую (поддерживающую) последнюю неизменной. Тем самым мы фактически совершили переход от управления
состоянием к управлению структурой.
В развитии такого, качественного расширения общей концепции управления состоит одна из главных задач, выдвинутых
А. Г. Бутковским в трудах по реализации
предложенной им программы построения
и осмысления «Единой геометрической
теории управления — теории структур
управления (ЕГТУ — ТСУ)» [5].

Вкладывание в понятие «калибровочное
(компенсирующее) поле» более широкого
смысла [5] и, в числе прочего, смысла регулирующей обратной связи, управляющего
поля окупается, так как позволяет прийти, как мы далее увидим, к обобщающему,
кибернетическому взгляду на сохранение
структур в природе.

Литература

1. Привалов И. И. Введение в теорию функций
   комплексного переменного. М.: Физматгиз,
   1960.
2. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979.
3. Мартыненко Н. А., Пустыльников Л. М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1986.
4. Ибраева Е. Т., Пеньков Ф. М., Пустыльников Л. М.
   Математика и управление в физике. Т. 2. Лекции
   для одного студента. Алматы: ИЯФ, 2007.
5. Бабичев А. В., Бутковский А. Г., Похьолайнен С.
   К единой геометрической теории управления.
   М.: Наука, 2001.