Определение характеристик случайных процессов бета-распределения

№ 3’2015
PDF версия
В статье приведены полученные числовые значения асимметрии, контр-эксцесса и энтропийного коэффициента для бета-распределения. Определена функциональная зависимость параметра формы от асимметрии. Предложена техническая реализация, позволяющая определить закон распределения вероятности и установить конкретный тип бета-распределения. Рассматриваются вопросы измерения характеристик случайных процессов, которые обладают свойством эргодичности и распределенных по закону бета-вероятности.

В качестве признаков, которые позволяют определить бета-распределение, используют априорную и апостериорную информацию об контрэксцессе, асимметрии и энтропийном коэффициенте [1, 2]. Аналитические выражения для определения параметров законов распределения вероятности приведены в таблице 1.

Таблица 1. Аналитические выражения для определения параметров законов распределения вероятности

№ п. п.

Параметр распределения

Аналитическое выражение

1

Контрэксцесс

Формула

2

Асимметрия

Формула

3

Энтропийный коэффициент

Формула

Результаты расчетов на ПЭВМ в среде Mathcad показали, что совершенно разные симметричные законы распределения могут иметь совпадающие значения контрэксцесса (от 0,05 до 0,882) и энтропийного коэффициента (от 0,09 до 2,066) и в значительной мере перекрываются в области плосковершинных и островершинных распределений. Симметричные распределения имеют асимметрию, равную нулю.

Для несимметричных законов распределения, а именно бета-распределения, значения контрэксцесса находятся в диапазоне от 0,628 до 0,655, энтропийного коэффициента от 3,268 до 3,458 и асимметрия от –0,51 до –0,071 и от 0,071 до 0,51 показателем формы β = 1,5–3, при α = 3, и α = 1,5–3, при β = 3.

Математическая модель, график плотности распределения вероятности, параметры формы α и β, а также значения контрэксцесса, энтропийного коэффициента и асимметрия бета-распределения приведены в таблице 2.

Таблица 2. Математическая модель, график плотности распределения вероятности, параметры формы α и β, значения контрэксцесса, энтропийного коэффициента и асимметрия бета-распределения

Математическая модель

График

Параметр формы α

Параметр масштаба β

Значения
параметров

Контрэксцесс χ

 Энтропийный
коэффициент Kэ

 Асимметрия S

p(x) = (1/B (α, β))xα–1×(1–x)β–1,  x > 0

График

1,5–3

3

0,628–0,655

3,268–3,458

0,071–0,51

График

3

1,5–3

0,628–0,655

3,268–3,458

–0,51 (–0,071)

Закон распределения случайного процесса теоретически и аппаратно можно определить по измеренным значениям контрэксцесса, энтропийного коэффициента и асимметрии [3]. Форма кривой плотности бета-распределения вероятности зависит от параметров формы α и β, которые в свою очередь чувствительны к асимметрии. Для бета-распределения зависимость параметра формы β от отрицательной асимметрии S при α = 3 приведена на рис. 1а. При положительной асимметрии зависимость параметра формы α от асимметрии S при показателе формы β = 3 приведена на рис. 1б.

Зависимость параметров формы бета-распределения от асимметрии

Рис. 1. Зависимость параметров формы бета-распределения от асимметрии:
а) при параметре формы α = 3;
б) при параметре формы β = 3

Математическая модель функциональной зависимости параметра формы α (β) бета-распределения при показателе формы β = 3 (α = 3) имеет вид:

α = 3exp(–1,39×S),                (1)

β = 3exp(–1,39×S).                (2)

После того как бета-распределение определено в соответствии с выражением (1), в зависимости от знака асимметрии вычисляются параметры формы α и β.

Структурная схема измерителя [3] и сигнал на выходе индикаторного устройства приведены на рис. 2 и 3.

Структурная схема измерителя вероятностных характеристик

Рис. 2. Структурная схема измерителя вероятностных характеристик.
Измеритель содержит: нормирующий усилитель (НУ);
канал измерения среднеквадратического значения (КИ СКЗ);
канал измерения асимметрии (КИ А);
канал измерения плотности распределения вероятности и энтропийного коэффициента (КИ ПРВ и ЭК);
канал измерения контрэксцесса (КИ КЭ);
канал измерения параметров формы распределения (КИ ПФР);
блок принятия решения (БПР);
индикатор (И).

Выход индикаторного устройства

Рис. 3. Выход индикаторного устройства

Таким образом, после определения бета-распределения по трем классификационным признакам, определяются параметры формы распределения, что в конечном итоге позволяет идентифицировать исчерпывающую характеристику случайных процессов — закон распределения вероятности и его параметры.

Литература
  1. Вентцель В. С. Теория вероятностей. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.
  2. Новицкий П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / Новицкий П. В., Зограф И. А. Л.: Энергоатомиздат. Ленинград. отд-ние, 1991.
  3. Патент № 2336562 РФ, МПК G06G7/52. Устройство для измерения характеристик случайных процессов/Сытько И. И., Шумаков П. П., Науменко Н. С., Латий О. В. — № 2006117279/09; заяв. 19.05.2006. Опубл. 20.10.2008. Бюл. № 29; приоритет 19.05.2006.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *