Теоретические аспекты конечно-элементного моделирования состояний и функциональности магнитоуправляемых датчиков. Часть 2

Все статьи цикла:

• Теоретические аспекты конечно-элементного моделирования состояний и функциональности магнитоуправляемых датчиков. Часть 1

• Теоретические аспекты конечно-элементного моделирования состояний и функциональности магнитоуправляемых датчиков. Часть 2

Магнитотепловое моделирование

Магнитотепловое моделирование, или моделирование магнитотепловой связи, основано на существовании взаимодействия между электромагнитными и тепловыми аспектами процессов нагрева. Вихревые токи генерируются в рабочей зоне устройства вследствие возникновения переменных магнитных полей. Процесс генерации вихревых токов описывается уравнениями Максвелла, как показано в первой части статьи. Нагрев рабочего пространства является результатом возникновения эффекта Джоуля вследствие вихревых токов и описывается известным законом Фурье.

Электромагнитные и тепловые процессы тесно взаимосвязаны и зависят один от другого. Электромагнитные свойства (B(H) зависимость, удельное сопротивление и магнитная проницаемость) и тепловые свойства (теплопроводность и удельная теплоемкость) являются температурно-зависимыми, а диффузия электромагнитного поля и переходные тепловые процессы взаимосвязаны.

В изучаемом устройстве — например, датчике ферромагнитного зубчатого ротора, элементами, подверженными нагреву из-за наведения индукционных токов, являются металлические части ротора и магнитопровод при его наличии (рис. 1 в КиТ № 1 `2009, стр. 8). При типичных рабочих температурах (–40…+150 °С), меньших точки Кюри (760 °С для стали), ферромагнитный материал считается нелинейным.

Поэтому для ферромагнитного материала в магнитотепловом исследовании также важно определять его электромагнитные свойства: задается значение магнитной проницаемости и кривая насыщения. В магнитотепловом исследовании рассматриваются также удельное сопротивление, теплопроводность и удельная теплоемкость.

Помимо индукционных токов, нагрев или перепады температуры и изменение электромагнитных полей вызываются окружающей датчик средой. Окружающий воздух может также охлаждать устройства. Источником переменного магнитного поля в этой системе является, как правило, постоянный магнит, подверженный нагреву и перепадам температур, косвенно вследствие этого — старению.

Тепловые применения

Датчик — это система, в общем случае, с неравномерным нагревом, для которой возможны:

1. состояние теплового равновесия (теплового баланса) с нулевым градиентом температуры в зависимости от времени;
2. неравновесное состояние: в нем устройство находится все время в процессе работы.

Физические явления, характерные для источников тепла для различных поверхностей, это:

• теплопроводность — теплообмен при существовании температурного градиента в твердых телах;
• конвекция — теплообмен при наличии поверхности теплообмена на границе раздела твердой и жидкой сред или разнородных сред;
• излучение — теплообмен с излучателем электромагнитных волн (происходит даже в вакууме).

В программе Flux теплопроводность моделируется непосредственно, для моделирования конвекции и излучения существуют возможности описания свойств границ твердого тела и окружающей среды [8–10].

Неравновесное состояние может быть:

• установившимся, в котором температурный градиент ненулевой, но не зависит от времени; мощность внутренних источников тепла равна тепловому потоку через внешнюю поверхность системы;
• переходным, характеризующим переход системы из одного состояния теплового равновесия в другое, температурное поле при этом является переменным во времени и зависит от начального значения температуры теплового поля и нового значения мощности источников тепла;
• переменным тепловым состоянием, в котором мощность источников тепла зависит от времени, а температурное поле — от времени и пространства.

Основным отличием переменных состояний от переходных как раз и является зависимость мощности внутренних источников от времени.

Различные тепловые состояния во Flux соответствуют разным физическим приложениям. Доступны два применения: Steady state Thermal для первого состояния и Transient Thermal для второго и третьего. Кондуктивный или индукционный нагрев исследуется в приложениях Flux Electric Conduction или Steady State AC Magnetic. Типичный пример показан на рис. 6.

Результаты моделирования представляют собой пространственное распределение температуры в вычислительном домене и на границах, а также тепловой поток через контуры вычислительного домена (74).

Для решения уравнений выделяется элементарная поверхность dS, пересекаемая элементарным количеством тепла или тепловой энергией dQ в течение бесконечно малого промежутка времени dt. Элементарный тепловой поток через поверхность dS определяется как:

и измеряется в Вт.

Плотность теплового потока является векторной величиной и представляет собой единичный тепловой поток, нормально ориентированный к поверхности dS. Если весь поток является перпендикулярным, то модуль [Вт/м²] будет равен:

= dФ/dS. (75)

Базовыми соотношениями для кондукционного теплонагрева являются закон Фурье:

= −[k] T (76)

и уравнение теплопроводности:

div() + ρC_p(∂T/∂t) = q, (77)

где [k] — тензор теплопроводности в Вт/(м⋅К); ρC_p— удельная теплоемкость в Дж/(м³⋅К); q — объемная плотность мощности источников тепла в Вт/м³.

Для установившегося равновесного состояния с установившимся температурным полем, не зависимым от времени (d/dt = 0), уравнение (76) упрощается:

div() = q, (78)
div(−[k] T) = q. (79)

Для переходных процессов уравнения остаются без изменений, и решается объединенное уравнение:

div(−[k] T) + ρC_p(∂T/∂t) = q. (80)

Начальные условия при t = 0 определяют однородность или неоднородность температурного поля в различных точках домена (во Flux v. 10.1.2 — для 2D-применений).

Граничные условия определяют:

• наложенную на домен температуру T₀(в простейшем случае T = T₀);
• плотность наложенного потока ₀(в частном случае ₀ = 0, то есть процесс является теплоизолированным — адиабатическим);
• теплообмен с окружающей средой посредством конвекции и излучения:
  • Теплообмен посредством конвекции описывается уравнением:
    ⋅ = −h × (T − T_a), (81)

    где h — коэффициент конвекционного теплообмена, Вт/м²⋅К; T_a — окружающая температура в К.

  • Теплообмен посредством излучения описывается как
    ⋅ = −εσ × (T⁴ − T_a⁴), (82)

    где ε — коэффициент теплообмена посредством излучения (или эмиссионная способность); σ = 5,675×10⁻⁸Вт/(м²⋅К⁴) — постоянная Стефана-Больцмана.

  • Для математического описания теплообмена одновременно посредством конвекции и излучения выражения суммируются:
    ⋅ = −h ×(T − T_a) − εσ ×(T⁴ − T_a⁴). (83)

В соответствии со стратегией моделирования тепловых процессов во Flux (как было отмечено, детали моделирования тепловых процессов во Flux в данной статье подробно не будут рассматриваться) поэтапно выполняются следующие действия:

1. Задаются границы домена исследования и определяются граничные условия. Домен исследования в тепловых применениях Flux включает только твердые тела. Поэтому важно отметить, что воздушные области в вычислительный домен не включаются, и метод бесконечного бокса не применяется. Граничные условия вместо этого устанавливаются заданием нематериальных граничных областей. В отсутствие областей без указания материала применяются стандартные граничные условия, которые определяют адиабатический процесс.

Если геометрия устройства включает симметрии, плотность теплового потока является тангенциальной к плоскостям симметрии. Невозможно определить ее как нормально направленную.

Если изучаемое устройство содержит периодичности, пользователь должен ввести тип периодичности (циклические или антициклические условия) на плоскостях периодичности, определенных в геометрическом контексте. Антициклические условия не имеют физического значения, но могут допускать отрицательные температуры ниже 0 К на границах.

2. Описание сред и носителей материалов: линий, контуров поверхностей, объемов. Задание свойств материалов и назначение физических областей геометрическим выполняется ранее — в физическом приложении. Моделирование материальной области как проводящей, дополнительно — с источником тепла q, допускает моделирование материальной среды в тепловом применении с указанием теплопроводности k и удельной теплоемкости. Проводящий материал допускает моделирование источника тепла и задание его тепловой мощности, который может быть также определен как однородный или пространственно распределенный. Для установившегося применения только теплопроводность k является необходимым заданным параметром, для переходного состояния указываются и теплопроводность, и удельная теплоемкость ρC_p.

Существует также возможность моделирования тонких проводящих областей, у которых один размер значительно меньше двух других, представляющих собой, в частности, воздушные зазоры. В 3D-приложении теплопроводность можно назначить случайной или выбирать тангенциальной направлению большего размера тонкой области. Филиформы, у которых два размера значительно меньше третьего, моделируются в 3D как характеризующиеся тангенциальным направлением теплового потока (наложенного).

3. Описание источников включает их представление как наложенного значения объемной плотности мощности источников тепла q₀, которая является одним из входных данных и представляет собой условие q в выражении (77). Мощность источника, определенного ранее областью проводящего материала, рассчитывается тогда как объемный интеграл:
   W =_V∫qdV (84)

   и вычисляется в приложениях Flux для электропроводных и магнитогармонических исследований как джоулевы потери. Также возможно задание наложенного значения плотности теплового потока φ₀ на область с указанием поверхности теплообмена или наложенного на область значения температуры T₀.

4. Определение граничных условий производится заданием нематериальных областей как поверхностей или линий теплообмена (конвекции/радиации) или источников тепла (однородных или пространственно распределенных, входящих или исходящих), либо наложенной температуры, также одно- или неоднородной, либо как определение адиабатического процесса с тангенциальным тепловым потоком.

Важно, что граничные условия должны быть заданы корректно, чтобы не допустить бесконечной температуры или меньшей нуля Кельвина.

5. Проводящий регион с двойным теплообменом задается как область материала с нематериальными поверхностями, возможно — как источник тепла. Задаются теплопроводность и удельная теплоемкость. Принимается, что тепловой поток тангенциален поверхностным областям теплообмена. Такая поверхностная область должна соседствовать с термически неактивными или нематериальными областями.
6. Описание начальных условий и аспекты решения. В переходном применении задаются начальные условия температуры.

Переходное применение отличается наличием временных зависимостей параметров — переменных источников, характеристик материалов и характеризуется временным дифференциальным уравнением первого порядка. Численный метод решения дает последовательность решений на каждом шаге. Каждое из решений не зависит одно от другого и связано с предыдущим только этим temporal-уравнением.

Нелинейные задачи также требуют определения начального поля температуры. Проблема считается нелинейной, если какое-то из свойств зависит от переменной состояния, которой в тепловых применениях обычно является температура. Например, о нелинейности проблемы говорит температурная зависимость проводимости или эмиссионной способности. Flux применяет итерационный процесс вычислений, основанный на методе Ньютона-Рапсона [10].

2D/3D-решатели Flux используют пространственную информацию о температурном поле (об однородности в 2D и 3D или неоднородности в 2D) и temporal-информацию о начальной температуре (2D и 3D/временной диаграмме начальной температуры).

7. Анализ результатов (постобработка) выполняется во Flux для локальных и глобальных величин/параметров. В 2D-применении анализируются следующие локальные параметры (табл. 4).

Глобальные параметры недоступны пользователю во Flux: они вычисляются посредством интегрирования.

Тепловой поток, пересекающий поверхность, вычисляется как интеграл:

Ф = ∫∫ ⋅ dS, (85)

где  — плотность теплового потока.

Линии, тангенциальные вектору , представляют собой линии теплового потока.

Если тепловой поток перпендикулярен площади S, он равен Ф = ⋅ S.

Если нормаль к поверхности и направление потока не совпадают, то элементарный поток определяется как:

dФ = ⋅ dS. (86)

(По модулю его значение вычисляется как dФ = ⋅ dS cosα или Ф = ⋅ S cosα), а поток, пересекающий поверхность, определяется как интеграл:

Ф =S∫ ⋅ dS. (87)

В установившемся состоянии теплового баланса общая мощность источников тепла равна сумме теплового потока, которым устройство обменивается с окружающей средой посредством поверхностей теплообмена (потери). Уравнение теплового баланса запишем в виде:

_S∫ ⋅ d =V∫qdV, (88)

где интеграл V∫qdV представляет собой мощность источника W для данного объема, определенную в соответствии с (84) удельной объемной плотностью q;
_S∫ ⋅ d — тепловой поток теплообмена с окружающей средой или потери.

В 2D-приложении Flux возможно вычислять определенные нами параметры непосредственно. В 3D-приложении мощность тепловых источников получается путем интегрирования плотности проводящих областей с источниками. Поток теплообмена с окружающей средой можно рассчитать с помощью интегрирования поверхностной плотности теплообмена. Тепловой поток, которым обменивается источник с окружающей средой посредством поверхностей с наложенной плотностью теплового потока или наложенной температурой, вычисляется в соответствии с приведенными формулами (86–88) также путем интегрирования на соответствующих поверхностях.

Объединенные приложения (электромагнитные и тепловые)

Объединенные приложения позволяют изучать тепловой нагрев устройства вследствие нагрева, вызываемого электромагнитной индукцией или электрической проводимостью [8–10].

Индукционный нагрев неизбежен во всех электропроводящих твердых телах, помещенных в переменное магнитное поле, вызывающее индуцированные вихревые токи. Присутствие этих токов является фактором повышения температуры как результат эффекта Джоуля. Процесс индукционного нагрева части системы зависит от характеристик источника, который генерирует переменное магнитное поле.

Действительно:

• Амплитуда переменного магнитного поля (источника тока) устанавливает значение наведенных токов, уровень рассеиваемой вследствие эффекта Джоуля мощности, следовательно, скорость нагрева является более или менее важной и амплитудно-зависимой.
• Частота переменного магнитного поля (источника тока) определяет глубину проникновения электромагнитного поля в проводящую часть, следовательно, толщина объема с индукционными токами также учитывается в модели. Явление, когда индукционные токи не пренебрежимой величины сконцентрированы только в верхнем слое поверхности нагреваемой части, толщина которой представляет собой глубину проникновения, известно как скин-эффект. Поэтому определяемый значением глубины проникновения индукционный нагрев является и рассматривается в модели локализованным. При больших значениях глубины проникновения, сравниваемых с диаметром толщины системной части, речь идет об объемном индукционном нагреве, тогда как при малых значениях — о поверхностном индукционном нагреве.

На практике основные компоненты при индукционном нагреве — это индуктор и нагрузка (charge). Даже в том случае, когда поле создается постоянным магнитом, эти компоненты можно использовать для эквивалентного физического и математического описания моделируемого устройства. Любой аксиально-намагниченный постоянный магнит и индуктор являются абсолютно эквивалентными устройствами.

Основные параметры, ответственные за эффективность индукционного нагрева (и в том случае, если он является паразитным), таковы:

• тип источника поля/индуктора (геометрия, материал, технология);
• положение индуктора по отношению к нагрузке (магнитная связь между источником поля и наведенными токами);
• значение частоты и скин-эффект, характеризующий распределение наведенных токов в нагреваемой части;
• магнитная проницаемость (relative permeability), электрические и тепловые свойства — удельное сопротивление (resistivity), теплопроводность и удельная теплоемкость материала нагреваемой части: эти свойства зависят главным образом только от температуры.

Во Flux могут объединяться следующие приложения:

• Steady State AC Magnetic и Transient Thermal (2D/3D);
• Electric Conduction и Transient Thermal (2D);
• Steady State AC Electric и Transient Thermal (2D).

Только объединенное c тепловым магнитогармоническое исследование реализуется в 3D-приложении Flux.

Возможно два типа исследований:

• Магнитное или электрическое приложение (1) допускает вычисление мощности, рассеиваемой посредством эффекта Джоуля в нагретой области исследуемого устройства.
• Тепловое приложение (2) допускает исследование тепловой эволюции в нагретой области исследуемого устройства.

Мощность, рассеиваемая за счет эффекта Джоуля, вычисляется с приложением 1, а затем вводится как источник тепла в приложении 2.

Температура, вычисленная с приложением 2, вводится для оценки характеристик материалов в приложении 1.

Говоря об объединении применений, необходимо отметить, что обычно термин «объединение» (coupling) при моделировании во Flux используется, когда для данного устройства исследуются различные физические явления — электрические, магнитные, тепловые, механические. Каждое явление описывается уравнением (Максвелла, Фурье), схемными соотношениями или механическими законами. Объединение требует решения сложной системы уравнений.

Выделяются такие понятия:

• Сильная связь (сильное объединение — strong coupling), когда одновременно решаются две системы уравнений, например уравнения магнитного поля и схемные соотношения.
• Слабая связь (слабое объединение — weak coupling), когда две системы уравнений решаются по отдельности, так что накладывается передача результатов между двумя системами: например, кинематическое объединение уравнений магнитного поля и механических уравнений осуществляется с передачей результатов на каждом временном шаге.

Сильная связь интересна, прежде всего, с теоретической точки зрения. Но во многих случаях она может быть практически не интересна — с вычислительной точки зрения.

Доказательством этого могут стать следующие цифры:

• Индукционный нагрев вызывается частотами порядка 50 Гц и 1 МГц. Следовательно, период электромагнитной волны может быть менее 0,02 с.
• Значение постоянной времени переходного теплового процесса — порядка секунды и часто выше, но никогда не менее 0,1 с.

В объединенном приложении используется общий временной шаг — наименьший.

Таким образом, совместные вычисления с меньшим шагом времени могут на самом деле увеличить время вычислений.

Поэтому во Flux для применений, называемых «…coupled with Transient Thermal application», применяется слабая связь: тепловые и электромагнитные процессы изучаются отдельно. Две системы уравнений связываются посредством некоторых условий. Именно слабой связи соответствует вычислительный процесс, согласно которому температура, вычисленная в тепловом применении, включается в систему электромагнитных уравнений посредством задания температурной зависимости физических свойств материалов: магнитной проницаемости, электрического удельного сопротивления, диэлектрической проницаемости. Потери мощности, вычисленные путем электромагнитного решения, представляют собой условие, соответствующее источнику нагрева в системе тепловых уравнений.

Основные вычислительные гипотезы объединения во Flux следующие:

• Электрические токи и поля являются периодическими и характеризуются синусоидальной временной зависимостью.
• Температурная вариация физических свойств является медленной и непрерывной.
• Магнитное состояние устройства может считаться гармоническим.

При таком подходе достигается локальное связывание (linking) теплового и магнитогармонического приложений Transient Thermal и Steady State AC Magnetic, вплоть до достижения установившегося состояния температурного поля на данном вычислительном шаге.

В дальнейшем концепция слабой связи развивается или, точнее, упрощается во Flux до концепции связывания (linking) стандартных приложений для упрощенных вычислений. Пользователь может связывать приложения вручную.

Но связывание применений linking не позволяет принимать в расчет температурные зависимости параметров.

Обычно связывание во Flux используется для того, чтобы определить стартовые параметры (напряжение, мощность, ток, начальное время шагов, частоту). Окончательные результаты получаются в объединенном приложении — Steady State AC Magnetic coupled with Transient Thermal application для магнитоуправляемого датчика.

В то же время, согласно вычислительному методу Flux, электромагнитное/тепловое объединение эквивалентно сильной связи: электромагнитные и тепловые состояния вычисляются одновременно. Поэтому в общем случае в терминологии Flux термин «сильная связь» может использоваться для показа объединения (coupling) стандартных приложений; слабая связь указывает на связывание (linking) данных приложений.

Типичный пример проблемы, решаемой в применениях Steady State AC Magnetic и Transient Thermal, показан на рис. 7.

Напомним, что для типичного магнитоуправляемого устройства, показанного на рис. 1, (датчика ферромагнитного зубчатого ротора) функции синусоидального источника поля выполняет магнит. Токи наводятся в магнитопроводе и роторе. Определяются магнитные проницаемости магнитомягких материалов μ_r(T) и свойства, характеризующие их как пассивные электрические проводники σ(T). Для них задаются теплопроводность k(T) и удельная теплоемкость ρC_p(T). Задается также частота вихревых токов (частота вращения ротора с одним элементом — парой кодировки, обычно менее 1 кГц), глубина проникновения (мм), позволяющая дифференцировать поверхностный и объемный нагрев, и диапазон температур.

Возможны исследования различных случаев:

• влияния частоты и амплитуды источника поля на электрические параметры устройства (Steady State AC Magnetic Application);
• индукционного нагрева с упрощением гипотезы;
• индукционного нагрева без упрощения гипотезы.

Упрощенная гипотеза предполагает линейную аппроксимацию B(H) кривой и независимость магнитных свойств от температуры. Гипотеза без упрощения принимает во внимание факт нелинейности кривой B(H) и температурной зависимости магнитных свойств.

Моделирование магнитотепловой связи для материалов с нелинейной B(H) кривой имеет свои особенности. В применениях Steady State AC Magnetic неизвестные потенциалы и производные от них в вычислениях физические параметры — напряженность магнитного поля и плотность магнитного потока — синусоидально изменяются во времени. Комплексное представление магнитной задачи достигается за одно решение. Но в этом случае априори невозможно принимать в расчет, что магнитные материалы могут характеризоваться нелинейной характеристикой намагничивания. Чтобы перекрыть это, во Flux реальная B(H) нелинейная кривая насыщения замещается в вычислениях эквивалентной, но для объединенного магнитотеплового применения и такое замещение невозможно вследствие ее температурной зависимости, то есть существования B(H, T) зависимости.

Поэтому для магнитотеплового исследования берется значение магнитного состояния B(H), локализованное на асимптоте реальной кривой для ненагретой части, — насыщенное значение, тогда при увеличении температуры можно использовать эквивалентную характеристику.

При описании объединенной магнитотепловой проблемы главные шаги геометрического описания сходны с теми, что применяются по отдельности для Steady State AC Magnetic и Transient Thermal. Но если речь идет о магнитотепловом исследовании, то границы вычислительных доменов различаются: граничные условия с бесконечным боксом в Steady State AC Magnetic применяются автоматически, а в применении Transient Thermal они задаются посредством определения поверхностей теплообмена с неактивными воздушными областями.

Сетка конструируется обычным образом. Вследствие скин-эффекта для наведенных токов области, где вихревые токи являются не пренебрежимыми, должны быть покрыты тонкой сеткой: минимум два элемента на глубину проникновения. Когда температура увеличивается, магнитная проницаемость снижается, и значение глубины проникновения δ в соответствии с выражением (36) увеличивается, что сетка должна «предсказывать» заранее.

Построение сетки с расчетом на тепловые применения также основывается на том, что экспоненциальные вариации переменной состояния — температуры — вызывают два явления, сходные со скин-эффектом:

• в тепловых областях с высоким значением температурного градиента — тепловых изоляторах, обычно не теплопроводных и не электропроводящих, и в магнитных задачах они могут быть определены с более грубой сеткой;
• переходное распределение тепла согласно тепловым свойствам (теплопроводности и удельной теплоемкости): случай, когда индуцированная мощность помещается на поверхности нагрева.

Глубина теплового проникновения определяется числом Пекле (это соотношение между условием передачи и запасенным условием теплового уравнения), и она намного меньше, чем глубина проникновения вихревых токов.

Для магнитотепловых применений материалы специфицируются так же, как и для магнитных и тепловых применений, и им дается соответствующее магнитное и тепловое определение.

Магнитные и проводящие материалы (stranded conductor и твердотельные solid conductor) характеризуются тепловым определением как теплопроводный материал. Если рассматривается только магнитный тип областей, тепловой тип магнитных, проводящих и воздушных/вакуумных областей будет считаться неактивным. В тепловом применении становится неактивным магнитный тип материала, а его тепловой тип определяется поверхностями теплообмена. Описание источника в магнитотепловом применении включает тепловое описание его как теплопроводного региона, возможно, источника тепла, вычисляемого в анализе электромагнитного процесса, и магнитное описание его как твердотельного проводника (solid conductor).

Для 3D-применения со скин-эффектом, для которого значение глубины проникновения значительно меньше по сравнению с толщиной, рекомендуется решение магнитной задачи выражением (формулировкой) поверхностного импеданса. Но использование программного обеспечения Flux ограничивается нелинейностью и температурной зависимостью B(H, T) кривой, кроме того, необходимым условием является специфическое описание тепловых источников.

Когда объемный регион со скин-эффектом описывается как поверхностный регион твердотельного проводника посредством формулировки поверхностного импеданса, невозможно использовать B(H, T) зависимость. Можно применить одно из двух альтернативных решений:

1. Использовать нелинейную, но температурно-независимую кривую B(H); магнитная проницаемость μ = B/H зависит от напряженности поля H и температурно-зависима.
2. Для описания использовать μ(T) характеристику: магнитная проницаемость не зависима от напряженности поля, но температурно-зависима и в то же время магнитно-линейна.

Передача тепла при описании источников выражением поверхностного импеданса выносится в тепловое применение как потери мощности вследствие эффекта Джоуля аналогично, причем в данном случае — автоматически. (Все детали по моделированию можно найти в технической документации и справочной системе Flux).

На каждом шаге магнитотеплового моделирования осуществляется локальное связывание (linking) применений Transient Thermal и Steady State AC Magnetic.

Для того чтобы вывести процесс теплового обновления, потребуется информация о карте начальной температуры (в момент времени t₀) и информация о локальной связи итеративного процесса (остановочный критерий).

Контроль итеративного процесса теплового обновления включает два остановочных критерия:

• достижение устойчивости температурной карты (этот критерий определяет точность ε процесса обновления):
  

  где T — температура; j — номер узла;

• максимальное число итераций (позволяет остановить процесс при отсутствии достижения конвергенции итеративного обновления теплового процесса).

На этом теоретические аспекты магнитотеплового моделирования можно считать рассмотренными. Температурная зависимость свойств — электромагнитных (B(H) зависимости, удельного сопротивления и магнитной проницаемости) и тепловых (теплопроводности и удельной теплоемкости) — ассоциируется с математическими моделями для обоих объединенных явлений, они резюмированы далее согласно [11].

Математические модели магнитогармонических вихретоковых проблем. TФ-Ф/Фr-модель

В этой модели  — это векторный электрический потенциал,  — скалярный магнитный потенциал в проводящих регионах, _r — редукционный скалярный магнитный потенциал (также в магнитных и немагнитных материалах).

Уравнения магнитогармонического поля, решаемые в вихретоковых областях, относятся к комплексному изображению электромагнитных потенциалов:

rot [ρ × rot] − grad [ρ × div ]+
+ jμω ( − grad ) = 0, (90)

div [μ( − grad )] = 0, (91)

где ω = 2 πf; grad[ρ × div ] — условие, соответствующее измерительному условию div = 0.

Уравнение, которое интегрируется для магнитных и непроводящих материалов, имеет вид:

div [μ(−grad )] = 0. (92)

В немагнитных и непроводящих областях, в частности, включающих воздух, окружающий устройство, и области, моделирующие индукторы типа stranded conductor, решаемое уравнение имеет вид:

div [μ₀(−grad + ₀)] = 0, (93)

где μ₀ — магнитная проницаемость вакуума; ₀ — источник магнитного поля, сгенерированного обмоткой, в отсутствие магнитных материалов в любой точке пространства вычисляется согласно закону Био-Савара-Лапласа, в объемной области с известной объемной токовой плотностью _V, записываемому как модифицированное выражение (28):

Плотность вихревых токов выражается как:

= div . (95)

А объемная плотность индуцированной мощности как:

P = ρ × ||². (96)

Высокочастотные применения моделируются методом поверхностного импеданса Z_s, который соотносит тангенциальный компонент магнитного поля с тангенциальным компонентом электрического поля на поверхности проводящего региона, с использованием соотношений (40), которые для комплексных значений также могут быть переписаны в виде:

n × _s = _s ⋅ × ( × _s), (97)

а c комплексным значением импеданса:

_s = (1 + j)ρδ. (98)

Данный метод вычислений вихревых токов называется во Flux формулировкой (выражением) поверхностного импеданса Surface Impedance (SI), а соответствующая математическая модель — SI- / r моделью. В сравнении с предыдущей, данная модель более экономична в отношении времени вычислений и требований к памяти: объемные области из рассмотрения исключаются.

Мощность, рассеиваемая вихревыми токами, изучается в этом случае как поверхностная плотность мощности. Для тепловой задачи точно так же изучается плотность теплового потока φ_s на поверхности, нагреваемой вихревыми токами.

Для проводящих и магнитных областей Flux предлагает две нелинейные модели формулировки поверхностного импеданса.

Математическая модель тепловых переходных задач

Оценка переходного температурного поля в объемной области основывается на выражении (80) закона Фурье с граничными условиями, определенными в соответствии с (83) или, для поверхностной модели, как:

k × × gradT =

= h × (T − T_a) + εσ × (T⁴ − T_a⁴) + φ_S. (99)

Начальные условия, то есть пространственное распределение температурного поля для момента времени t = 0, должны быть известны.

Принципы магнитотеплового исследования

Магнитотепловое объединение представляет собой слабосвязанное вычисление процессов индукционного нагрева, то есть решение магнитогармонических и тепловых задач на каждом временном шаге (t₀, t₁, t₂, … t_i…, t_f). Для каждого временного шага t_i, где i = 0, 1, 2, … f, анализируются сначала электромагнитные процессы, затем — тепловые. Значения мощности и распределение температурного поля обновляются в процессе перехода к следующему временному шагу. Время моделирования является значительным, причем для нелинейной задачи оно увеличивается дополнительно.

Flux v. 10.2

Базовой версией ПО, на основе которого проводилось практическое моделирование [2–7], послужил пакет Flux v. 10.1.2.

С середины 2008 года и до настоящего времени компания CEDRAT предлагает пользователям новую версию ПО — Flux v. 10.2, для которой также действительны все рассмотренные теоретические аспекты.

Во Flux v. 10.2 дополнительно реализованы возможности улучшенной генерации объемной сетки на основе метода advancing front method, представляющего собой итеративный процесс, согласно которому сетка инициализируется на контуре домена и затем генерируется послойно по направлению в интерьер-домен (рис. 8).

Метод отличается сниженным числом элементов в центре объемов. Также метод упрощает смешивание сеток — автоматической и экструзивной. Flux обеспечивает новый алгоритм для автоматической оптимизации наложения объемной сетки, повышающий качество и снижающий число элементов (независимо от метода — Delaunay или advancing front method).

Форматы для экспорта геометрии на данный момент включают: IGES, STEP, ACIS, CATIAV4 и V5. Пользователь может с большей легкостью модифицировать экспортированный в импортирующем его ПО CAD-файл, представляющий собой сборку, в которой каждый экспортированный Flux единичный объект entity соответствует части.

Новые признаки допускают соединение Flux c другими средствами PyFlux, библиотекой MultPhysics FluxAPI, допускающей работу в соответствии с клиент-серверной архитектурной моделью.

Командный язык Flux, который основан на Python PyFlux, позволяет осуществлять контроль от препроцессорной до постпроцессорной обработки, включая взятие значений из файлов или извлечение их в Excel. Во Flux также существуют возможности извлечения параметров (индукции, потерь мощности, проницаемости, температуры) и для команд PyFlux — пошагового пилотирования решателя (с временными шагами, нелинейными шагами). Эти возможности позволяют пользователю:

• управлять Flux из других средств (листов Excel, средств оптимизации);
• достигать со-симуляции Flux-Flux либо Flux с другими конечно-элементными пакетами, а также системами моделирования (Simulink, Portunus, Pscad, Amesim) и другими.

Таким образом, пользователь может достигнуть мультифизической размерности моделирования. Мультифизическое объединение (coupling) между различным программным обеспечением требует, с одной стороны, обмена параметрами между программами и подпрограммами, с другой стороны — синхронизации процесса обмена в течение всего процесса моделирования Flux (препроцессора, решения, постобработки). С предыдущими версиями Flux было необходимо запускать пакет с графическим пользовательским интерфейсом. Версия 10.2 включает библиотеку FluxAPI для встраивания Flux в другие программы. FluxAPI library предлагает:

• общие API-интерфейсы, совместимые с PyFlux;
• мультифизику с API FluxAPI library и работой Flux в архитектуре Client-Server.

Для Windows FluxAPI библиотека представляет собой файл DLL (flux_mp.dll).

Другое значительное улучшение — это моделирование материалов и референсной температуры. Когда физическое свойство (удельное сопротивление, теплопроводность или удельная теплоемкость) зависят от температуры, пользователь имеет в распоряжении опорное значение и закон изменения. До этого опорное значение физического свойства было 0 °C. В версии 10.2 опорное значение температуры может быть и 20, и 25 °C.

Много других улучшений включают в себя новые типы трансформаций — симметрию, новый комбинированный тип периодичности и некоторые аспекты визуализации.

Дополнительную информацию можно получить на сайте www.cedrat.com.

Заключение

Основные теоретические аспекты моделирования состояний и функциональности магнитоуправляемых датчиков — магнитостатических, магнитодинамических (магнитогармонических и переходных), тепловых и магнитотепловых процессов можно считать рассмотренными и переход к практическому моделированию на базе программного пакета Flux — обоснованным. Тем не менее, в очередной раз необходимо подчеркнуть, что реальные моделирующие возможности Flux еще шире, и соответствующая теоретическая и практическая информация все еще остается за рамками данной статьи как основа для будущих публикаций.

Литература

1. Сысоева С. Развитие концепции математического и расчетного моделирования автомобильных датчиков скорости/положения//Компоненты и технологии. 2007. № 12.
2. Сысоева С. Геометрическая и физическая параметризация в конечно-элементном пакете Flux v.10.1.2 CEDRAT как подход к оптимизации датчиков скорости/положения//Компоненты и технологии. 2008. № 4.
3. Сысоева С. Геометрическая и физическая параметризация в конечно-элементном пакете Flux v.10.1.2 CEDRAT как подход к оптимизации датчиков скорости/положения//Компоненты и технологии. 2008. № 5.
4. Сысоева С. Практический курс моделирования магнитоуправляемых датчиков положения и скорости на базе конечно-элементного программного пакета Flux. Часть 1. Введение в рабочую среду Flux//Современная электроника. 2008. №
5. 5. Сысоева С. Практический курс моделирования магнитоуправляемых датчиков положения и скорости на базе конечно-элементного программного пакета Flux. Часть 2. Магнитостатическое моделирование компонентов рабочей зоны датчика//Современная электроника. 2008. № 7.
6. Сысоева С. Практический курс моделирования магнитоуправляемых датчиков положения и скорости на базе конечно-элементного программного пакета Flux. Часть 2. Магнитостатическое моделирование компонентов рабочей зоны датчика (продолжение)//Современная электроника. 2008. № 8.
7. Сысоева С. Практический курс моделирования магнитоуправляемых датчиков положения и скорости на базе конечно-элементного программного пакета Flux. Часть 2. Магнитостатическое моделирование компонентов рабочей зоны датчика (продолжение)//Современная электроника. 2008. № 9.
8. Техническая документация фирмы CEDRAT. Flux 10 User’s Guide. Vol. 3. Physical applications: Magnetic, Electric, Thermal. Aug 2007.
9. Техническая документация фирмы CEDRAT. Flux 9.1 3D-application. User’s Guide. Vol. 5. Physical applications (complements for advanced users). March 2005.
10. Техническая документация фирмы CEDRAT. Flux 10 Application 3D User’s Guide. Vol. 4. Solving and results post-processing. CEDRAT, July 2007.
11. Техническая документация фирмы CEDRAT. Flux 9.20 3D Applications. Magneto-Thermal Technical Paper. CEDRAT, May 2006.